Strömungslehre III

Bernoullische Energiegleichung,

Die Bernoullische Energiegleichung, (auch Satz von Bernoulli genannt,) ist eine wichtige Gleichung in der Strömungslehre, die nach Daniel Bernoulli benannt ist. Sie ist ein Ausdruck des Energieerhaltungssatzes und wird typischerweise so formuliert, dass alle Energieanteile über die Schwerebeschleunigung und die Dichte der Flüssigkeit in Höhen umgerechnet werden. Die Summe der so definierten Geschwindigkeitshöhe und Druckhöhe plus der geodätischen Höhe ist (im reibungsfreien Fall) konstant, gleich der Energiehöhe.

Gesetz von Bernoulli

Venturi-Strömungsmesser

Bernoulli entdeckte die Beziehung zwischen der Fließgeschwindigkeit eines Fluides und dessen Druck. Er fand heraus, dass in einem strömenden Fluid (Gas oder Flüssigkeit) ein Geschwindigkeitsanstieg von einem Druckabfall begleitet ist.

Die Bernoullische Energiegleichung als Höhengleichung

Bei der stationären (zeitlich sich nicht verändernden) Bewegung einer idealen (reibungsfreien) Flüssigkeit, die nur der Schwerkraft unterworfen ist, gilt für alle Punkte einer Stromlinie, dass die Summe aus Geschwindigkeitshöhe $\frac{v^2}{2 g}$ und Druckhöhe $\frac{p}{\rho g}$ und geodätischer Höhe $z$ konstant ist.

$\text{[math]}$

wobei

v: Strömungsgeschwindigkeit; g: Schwerebeschleunigung,; p: Druck (nur kleines p); ρ (rho): Dichte; z: Höhe über/unter einer Bezugsebene mit gleicher geodätischer Höhe

Diese Summe wird als Energiehöhe bezeichnet und zumeist in Meter angegeben. Die Herleitung der Energiegleichung erfolgt über den Energieerhaltungssatz, wobei die gesamte Strömungsenergie, die sich aus potentieller, Druck- und Bewegungsenergie zusammensetzt, betrachtet wird.

Druckgleichung

Multipliziert man die Bernoullische Energiegleichung mit ρ und g, erhält man die Bernoullische Druckgleichung:

$p + \rho g z + \frac{\rho }{2} v^2 = \text{const.}$

Aus der Bernoullischen Energiegleichung ist ersichtlich, dass zum Beispiel bei einer inkompressiblen Flüssigkeit ( $ρ = const$ ) eine Geschwindigkeitserhöhung in einer Rohrleitung durch Einengung des Querschnittes zu einer Verminderung des Druckes führen muss, wenn die geodätische Höhe gleich bleibt.

Erweiterte Bernoullische Energiegleichung

Die erweiterte Bernoullische Energiegleichung setzt sich mit zähen Flüssigkeiten auseinander. Dabei werden die Reibungsverluste berücksichtigt. Die so genannte Verlusthöhe H_v wird empirisch meist durch einen Widerstandsbeiwert $ζ$ (Zeta) mit folgender Funktion berechnet:

$H_v = \zeta \frac{v^2}{2 g}$

mit

ζ: Widerstandsbeiwert

v: Geschwindigkeit

g: Schwerebeschleunigung

Diese Annahme fußt auf der empirischen Beobachtung, dass die Druckverluste in Rohrleitungen bei turbulenter Strömung mit dem Quadrat der Fließgeschwindigkeit steigen. Die Verlustbeiwerte oder die Summe der Verlustbeiwerte in einem Gesamtsystem setzen sich zusammen aus:

Einzelverlusten wie Ein- und Auslaufverlust, Einbautenverlust (Krümmer, Einengungen, Schieber) und
Verlusten aus der Rohrreibung

Die erweiterte Energiegleichung lautet daher:

$\frac{v^2}{2 g} + \frac{p}{\rho g} + z + \zeta \frac{v^2}{2 g} = \text{const.} = H_0$

Mit dieser Gleichung können bei Kenntnis der Verlustbeiwerte die üblichen Fragen der Bemessung von Rohrleitungssystemen mit turbulenter Strömung gelöst werden.

Für die Berechnung der Energieverluste wäre zwischen Einzelverlusten und Verlusten in geraden Rohren zu unterscheiden.

Rohrreibungszahl

Der Widerstand von Rohrströmungen könnte dabei auch als Widerstandsbeiwert ζ (Zeta) geschrieben werden, lässt sich jedoch noch weiter auflösen (D=Innendurchmesser, L=Länge):

$\zeta = \lambda \frac{L}{D}$

Für die laminare, voll ausgebildete Strömung in einem kreisrunden Rohr kann die Rohrreibungszahl mit der Reynolds-Zahl $R e$ folgendermaßen exakt bestimmt werden:

$\lambda = \frac{64}{Re}$

Bei turbulenter Strömung gibt es nur Näherungsformeln zur Bestimmung der Rohrreibungszahl. Dabei sind folgende Fälle zu unterscheiden:

Hydraulisch glattes Rohr, das heißt die Unebenheiten der Wand des Rohres sind zur Gänze von einer viskosen Unterschicht umhüllt. Der Wert von $λ$ errechnet sich mit der Formel von Prandtl:

$\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = 2{,}0 \log_{10} \left( Re {\sqrt{\lambda}} \right) - 0{,}8$

Eine häufig verwendete einfache Korrelation zur näherungsweisen Berechnung des Druckverlustverhaltens des glatten Rohres im Bereich Re<10⁵ ist die nach Blasius^[1]:

$\lambda = \frac{0{,}3164}{Re^{0{,}25}}$

Hydraulisch raues Rohr, das heißt die Unebenheiten der Wand des Rohres werden nicht mehr von einer viskosen Unterschicht umhüllt. Der Wert von $λ$ errechnet sich mit der Formel von Nikuradse:

$\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = 2 \log_{10} \left( \frac{3{,}71 d}{k} \right)$

d: Rohrdurchmesser

k: absolute Rauigkeit (mm)

Übergangsbereich zwischen den vorstehend angeführten Zuständen. Hier gilt nach Colebrook:

$\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10} \left( \frac{2{,}51}{Re \sqrt {\lambda}} + \frac{k}{3{,}71 d} \right)$